ψ(x)とψ(p)の関係は、ハミルトニアンにかかわらず、フーリエ変換・逆変換の関係である

|a><a| を状態ベクトルに左から掛けることは、
状態ベクトルから|a>の成分を抜き出す（射影する）ことになる
つまり、|a><a|ψ>＝|a>　f(a)＝f(a)|a>
なので、|a><a| を射影演算子と言います。
f(a)は、「射影の長さ」になっています。

したがって、
|ｘ><x|ψ>＝f(ｘ)|ｘ>
となります。
また、ｐを運動量とすると
|ｐ><ｐ|ψ>＝g(ｐ)|ｐ>
このf(ｘ)が　座標表示の波動関数。　g(ｐ)が運動量表示の波動関数。になるわけです。
<x|ψ>は、|ｘ><x|ψ>＝f(ｘ)|ｘ>　の両辺から　|ｘ>　を除いたf(ｘ)です。
つまり、「座標表示の波動関数」で、これを普通　ψ(x)と書くわけです。

で、射影を全て寄せ集めたものは、元の｜ψ>　です（|x>や|p>が完全直交系を成すと仮定）
つまり、∫[-∞to+∞]dx|ｘ><x|ψ>＝∫[-∞to+∞]dx　f(ｘ)|ｘ>
＝|ψ>　です。
これから、∫[-∞to+∞]dx|ｘ><x|＝１　が言えます（完全性定理）

|ψ>＝∫[-∞to+∞]dx　ψ(x)|x>　ということですが、この両辺に<p|　を掛けると、
上記の　<ｐ|ψ>＝ψ(p)　になるはずで、
∴　ψ(p)＝∫[-∞to+∞]dx　ψ(ｘ)<ｐ|ｘ>　
である。
<ｐ|ｘ>は、僕の記事； http://blogs.yahoo.co.jp/kafukanoochan/61737027.html
より、

です。
したがって、ｐ＝h'kとおくと（ｋは波数になります）

となり、
ψ(p)は、ψ(ｘ)のフーリエ変換になっています。
//

また、|ψ>＝∫[-∞to+∞]dp　ψ(p)|p>　ですが、この両辺に<x|　を掛けると、
<x|ψ>＝ψ(ｘ)　になるわけで、ｐ＝h'kとおくと
dｐ＝h'dk 　ψ(k)= <k|ψ> = <p/h'|ψ> =ψ(p)/h' となり

という逆フーリエ変換になります。